射鵰MATHS問題

kwok5312 · 發表於 22/10/2009 11:03 PM

我看了射鵰..
中間有一個問題係咁的..(已翻譯成白話文..)
有一個未知數..除3的話餘數為2,除5的話餘數為3,除7的話餘數為2..問該數的最小可能值..??
本人不求答案..只求步驟和解釋..(但不要直搬射鵰中的解釋..本人愚昧,不解書中之意)

Ivanhy92 · 發表於 23/10/2009 12:13 AM

本帖最後由 arararchchch 於 23/10/2009 12:22 AM 編輯

被3整除同時被7整除都餘2, 即該數被21整除也餘2

設該未知數為n,
n = 21x + 2  ---(1)
n = 5y + 3    ---(2)
(當中x, y都是整數)

21x + 2 = 5y + 3
y = (21/5)x - 1/5 ----(3)

由於n是整數,所以x,y必定為整數,且>=0

By substitution(代入法),

x = 1, y = 4
x = 2, y = 8.2       (rejected)
x = 3, y = 12.4       (rejected)
x = 4, y = 16.6       (rejected)
x = 5, y = 20.8       (rejected)
x = 6, y = 25
x = 7, y = 29.2       (rejected)
....

即
(1,4) (6,25) (11,46) ... (5k-1,21k-17) 為符合題目的答案 (k為正整數)

所以,
n最小可能值 = 21(1) + 2 = 23    n最小可能值 = 5(4) + 3 = 23

kwok5312 · 發表於 23/10/2009 02:04 PM

被3整除同時被7整除都餘2, 即該數被21整除也餘2

設該未知數為n,
n = 21x + 2 ---(1)
n = 5y + 3 ---(2)
(當中x, y都是整數)

21x + 2 = 5y + 3
y = (21/5)x - 1/5 ----(3)

由於n是整數,所以x,y必定 ...
arararchchch 發表於 23/10/2009 12:13 AM

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很好很強大,十分感謝你..
那如果被3整除和被7整除後的餘數不一樣..又怎麼計算呢?

sapphire · 發表於 23/10/2009 06:15 PM

本帖最後由 sapphire 於 23/10/2009 06:29 PM 編輯

很好很強大,十分感謝你..
那如果被3整除和被7整除後的餘數不一樣..又怎麼計算呢?
kwok5312 發表於 23/10/2009 02:04 PM

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You may use Chinese Remainder Theorem. Since the GCD(HCF) of 3 and 7 is 1, this theorem provides a unique solution between 0 and 3 * 7 - 1. However, this is out of syl in high school.

http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem

in Chinese: (in fact your example is included in this link)
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E5%89%A9%E4%BD%99%E5%AE%9A%E7%90%86

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