中一數學問題

Sunny

1.證明 53^103+103^53 能被39整除。

2.一張古老而難而閱讀的收據上，可以隱若見到購買72罐罐頭午餐肉共花$ x67.9y。
求缺先的數位 x 及 y 。

3.若792能整除整數 13xy45z ，求數位x、y及z。

4.不利用除法，判斷整數176,521,221及149,235,678能否被9或11整除。

5.利用模 9 (modulo 9)或模 11 (modulo 11)協助，求以下算式中的未知的數位：

(a)51840 × 273581 = 1418243x040

(b)512 × 1x53125 = 1000000000

6.利用二進指數法，計算以下題目

(a)19^53 (mod 503)

(b)141^47(mod 1537)

7.求數字7^999的最後的三個數位。

[ 本帖最後由 tamsunny 於 29/7/2007 12:56 PM 編輯 ]

Sunny

辛苦大家了
可以不用提供answers了
已經解決了

kazuhiko

1.證明 53^103+103^53 能被39整除。

Rewrite the question as
53^103 + 103^53 = a (mod 39)

=>
{53^103 + 103^53 = a (mod 3)
{53^103 + 103^53 = a (mod 13)

=>
{ (-1)^103 + (1)^53 = a (mod 3)
{ (1)^103 + (-1)^53 = a (mod 13)

=> a=0

therefore, 53^103+103^53 is divisible by 39

3.若792能整除整數 13xy45z ，求數位x、y及z。

Rewrite the question as
13xy45z = 0 (mod 792)

=>
{13xy45z = 0 (mod 2)
{13xy45z = 0 (mod 3)
{13xy45z = 0 (mod 11)

=>
{z is an even number
{1+3+x+y+4+5+z = 3a , where a is an integer
{z-5+4-y+x-3+1 = 0

=>
{z is an even number  ...(1)
{ x+y=-13-z+3a  ...(2)
{ x-y = 3-z  ...(3)

By putting a=0,1,2,3,... and z=0,2,4,6,8
Solving (1) (2) & (3)
We have
(x,y,z) = (4,1,0) (2,1,2) (0,1,4) (7,4,0) (5,4,2) (3,4,4) (1,4,6) (8,7,2) (6,7,4) (4,7,6) (2,7,8)

5.利用模 9 (modulo 9)或模 11 (modulo 11)協助，求以下算式中的未知的數位：

(a)51840 × 273581 = 1418243y040

(b)512 × 1y53125 = 1000000000

改了用 y ...易看一些

(a)
273581 = 0 (mod 11)
=> 51840 × 273581 = 0 (mod 11)
=> 1418243y040 = 11a (mod 11) , where a is an integer
=> 0-4+0-y+3-4+2-8+1-4+1 = 11a
=> -13 - y = 11a
=> y = 9 (put a = -2)

(b)
1000000000 = 10 (mod 11)
512 × 1y53125 = 6(7-y) (mod 11)
=> 6(7-y) = 10+11a , where a is an integer
=> y = 9 (put a = -2)


--------------------------------------
To be continued...

[ 本帖最後由 kazuhiko 於 7/8/2007 06:25 PM 編輯 ]

kazuhiko

1.
{ x ≡ 5 (mod 6)  ...(1)
{ x ≡ 4 (mod 11) ...(2)
{ x ≡ 3 (mod 17) ...(3)

try (1)
11,17,23,29,35,41,47,53,[59],...

try (1) & (2)
15,26,37,48,[59],...

try (1), (2) & (3)
59,125,191,257,323,389,455,521,587,653,719,[785],...

therefore, the least number which satisfies (1), (2) & (3) is 785

3.
Solve the linear congruence
17x ≡ 3 (mod 210)

by solving the system
{ 17x ≡ 3 (mod 2) ...(1)
{ 17x ≡ 3 (mod 3) ...(2)
{ 17x ≡ 3 (mod 5) ...(3)
{ 17x ≡ 3 (mod 7) ...(4)

try (1)&(2)
17,34,[51],...

try (1) (2) & (3)
51,[153],...

try (1) (2) (3) & (4)
153,663,1173,[1683],...

therefore, the least number which satisfies (1), (2), (3) & (4) is 1683, where x=99

STEVE

原帖由 tamsunny 於 5/8/2007 06:17 PM 發表

                               
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囧
交左功課成個星期你先比個answer我
等answer一出我會post比你看

咁我答4/8果個post啦...

可唔可以用chinese remainder theorem架?

以下部分方法是自己創作...唔知得唔得

1, 3唔知符號咩來 (但係好似同上定理有關, 見過類似的東西)

2.
一群17人的海盜搶劫了一堆金幣。
當他們將搶回來的金幣平均分配時，餘下3個。
為了得到這3個餘下的金幣，這群海盜打架起來，而1個海盜在打架中死亡。
海盜們重新分配金幣，但這次卻餘下10個。
同樣地，這群海盜又為了這些餘下的金幣打架，並中有多一個的海盜在打架中死亡。但在這時，生還的海盜能平均分配金幣，沒有餘下的金幣。
問海盜搶劫得來的金幣最少有幾個?

y=17a+3
y=16b+10
y=15c

15|16|17
0  |1 |0  |3825
0  |0 |1  |2160
0  |10|3

we have 3825*10+2160*3=44730
but 15*16*17=4080
hence the min=44730-4080*10=3930

4.求一數字使得當除以2、3、6、12時，分別餘1、2、5、5

其實係17 (逃)
以上四個條件是重疊的
所以剩下除12剩5
所以ans = 5 + 12 N (N=non-negative integer)

5.求一數字使得當除以3、4、5、6時，分別餘2、3、4、5
4|5|6|
1|1|1|61
0|1|0|36
0|0|2|20
3|4|5|61*3+36*1+20*1=239

but 5*6*2=60
so ans=239+60 Z

or: 3*4*5*6-1=359
ans: 359+ 60 Z

6.當一籃雞蛋以每2隻、3隻、4隻、5隻、6隻一數時
餘下的雞蛋分別為1隻、2隻、3隻、4隻、5隻
而當以每7隻一數時，就沒有雞蛋餘下
求籃裏雞蛋的最少可能數目

same question as 5.

we have
239-60*3=59

[ 本帖最後由 STEVE 於 6/8/2007 12:22 AM 編輯 ]

Sunny

囧
交左功課成個星期你先比個answer我
等answer一出我會post比你看

STEVE

2.一張古老而難而閱讀的收據上，可以隱若見到購買72罐罐頭午餐肉共花$ x67.9y。
求缺先的數位 x 及 y 。

72=2*2*2*3*3

即是說是9的倍數
x+6+7+9+y=9N
x+y+4=9(N-2)
亦是4的倍數
9y=4M

即是y=2 or 6
when y=2, x=3
when y=6, x=8

如果要對位(即xxx*xx)的話, 只有y=2, x=3合適

可能有錯

題外話, 我覺得似IQ題多一點兒

Sunny

1.
{ x ≡ 5 (mod 6)
{ x ≡ 4 (mod 11)
{ x ≡ 3 (mod 17)

2.
一群17人的海盜搶劫了一堆金幣。
當他們將搶回來的金幣平均分配時，餘下3個。
為了得到這3個餘下的金幣，這群海盜打架起來，而1個海盜在打架中死亡。
海盜們重新分配金幣，但這次卻餘下10個。
同樣地，這群海盜又為了這些餘下的金幣打架，並中有多一個的海盜在打架中死亡。但在這時，生還的海盜能平均分配金幣，沒有餘下的金幣。
問海盜搶劫得來的金幣最少有幾個?

3.
Solve the linear congruence
17x ≡ 3 (mod 210)

by solving the system
{ 17x ≡ 3 (mod 2)
{ 17x ≡ 3 (mod 3)
{ 17x ≡ 3 (mod 5)
{ 17x ≡ 3 (mod 7)

4.求一數字使得當除以2、3、6、12時，分別餘1、2、5、5

5.求一數字使得當除以3、4、5、6時，分別餘2、3、4、5

6.當一籃雞蛋以每2隻、3隻、4隻、5隻、6隻一數時
餘下的雞蛋分別為1隻、2隻、3隻、4隻、5隻
而當以每7隻一數時，就沒有雞蛋餘下
求籃裏雞蛋的最少可能數目

雪貓

原帖由 tamsunny 於 28/7/2007 22:38 發表

                               
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功課係咁-.-"
冇得解

可唔可以比條完整的公式我?

中一就要做次方真慘~.~
很難有完整的- -"
難道說要1+7+6=14,which is not divisible by 9

Sunny

功課係咁-.-"
冇得解

可唔可以比條完整的公式我?