代數問題

may_ag

x=a+b-c
y=-a-b+c
z=a-b
m為z,x,y中最小的一個
求一組a,b,c的值使m最大
而且a+b+c=1.a,b,c都大於0


我知可以用圖解法
但我要解比人聽 有沒有其他方法


當a,b,c有兩組解時,取x+y+z較大的一組

六成瘋

抱歉考古了

x = a + b - c
y = - a - b + c = - x
所以 m = min. value of { x , - x , z }
先不管 z，因為 z 的值是自由的
我們該先考慮 x 跟 - x 的最小值
x 跟 - x 相對，x 數值越大，- x 數值越小
所以當 x = - x = 0 的時候，x 與 - x 之間的的最小值將會最大 (因為不是負數)
所以 max. value of m = 0

m = 0 when "x = - x = 0" and "z = 0"
i.e. when "a + b = c" and "a - b = 0"

現在剩下這三項條件
(1) a + b = c
(2) a + b + c = 1
(3) a - b = 0
再加上 a, b, c > 0

由 (3)，我們得知 (4) a = b
由 (1) 和 (4)，我們得知 (5) 2 * a = c
由 (2)、(4) 和 (5)，我們得知 4 * a = 1
所以 a = 0.25
因為 a = b，所以 b = 0.25
因為 2 * a = c，所以 c = 0.5



應該沒解錯... 吧？

may_ag

謝謝,但z不一定=0

六成瘋

謝謝,但z不一定=0
may_ag 發表於 12/2/2010 11:35 AM

                               
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也有道理
如果考慮到這一點
那麼在 a, b, c > 0 和 a + b + c = 1 的前提下
a + b - c = 0 這一項要若要成立
必然需要 a + b = c = 0.5
那麼就可以推論出 0 =< z = a - b < 0.5
(z 最小時，a = b = 0.25；z 最大時，a = 0.4999..., b = 0.000...001)
因為 x = y = 0 是必然要符合的條件
所以得出結論為 0 =< x + y + z < 0.5

考慮到 {a, b, c} 有複數解時，要取 x + y + z 最大值的一解
也就是 x + y + z -> 0.5 的一解
那麼在此情況下
a = 0.4999...
b = 0.000...001
c = 0.5



太久沒玩過數學題了 =\
居然看漏了一些可能性